La regla del producto triple, también llamada regla cíclica de la cadena, relación cíclica o teorema de reciprocidad, es una fórmula que relaciona las derivadas parciales de tres variables interdependientes. Se aplica cuando estas variables están ligadas por una función de la forma f(x, y, z) = 0, de modo que cada una puede expresarse como función implícita de las otras dos. Su uso es especialmente frecuente en termodinámica, donde una ecuación de estado de un fluido vincula temperatura, presión y volumen, y permite sustituir derivadas parciales difíciles de medir o integrar por cocientes de otras más manejables.
La fórmula se obtiene a partir del teorema de la función implícita y de una relación de reciprocidad, y puede demostrarse de varias maneras: mediante un diferencial total con dz = 0 sobre una curva, usando diferenciales y la regla de la cadena, o a partir de una superficie bidimensional en un espacio de cuatro variables, como plantea Pippard. Un caso de aplicación habitual es la ley de los gases ideales, que relaciona presión, volumen y temperatura.
Además de su uso analítico, la regla tiene una interpretación geométrica ligada a la velocidad de fase de una onda viajera: la derivada temporal igual a la derivada espacial multiplicada por la relación ω/k reproduce la identidad del producto triple para incrementos infinitesimales. La página también señala relaciones con el diferencial exacto, la derivada total y la regla del producto ordinaria.