La intersección entre un rayo y una superficie es la operación fundamental del ray tracing, la técnica que genera imágenes realistas calculando el camino de la luz píxel a píxel. Un ray tracer lanza rayos desde una cámara a través de cada píxel de la pantalla y determina qué superficie golpea cada uno primero. Aunque la idea es sencilla, su resolución depende de resolver ecuaciones algebraicas cuyo grado varía según la geometría implicada.
La esfera es el caso más simple. Con centro C y radio r se describe mediante la ecuación implícita (P − C)·(P − C) = r², de grado 2. Al sustituir la ecuación paramétrica del rayo P = O + tD se obtiene una cuadrática en t, resoluble con la fórmula del discriminante. Si este es negativo, no hay intersección; si vale cero, el rayo roza la superficie; si es positivo, existen dos puntos de entrada y salida. En el punto de impacto, la normal saliente es el vector (P − C)/r normalizado.
El cilindro finito se descompone en dos casos: la superficie lateral (una ecuación de grado 2 proyectada sobre el plano perpendicular al eje) y dos tapas planas evaluadas trivialmente. El resultado puede generar hasta cuatro intersecciones por rayo.
El caso más exigente es el toro, una superficie cuártica de grado 4. La sustitución del rayo produce un polinomio de cuarto grado que en general no admite solución analítica compacta. Se resuelve numéricamente: se buscan cambios de signo en f(t) para localizar raíces y se refinan mediante Newton-Raphson combinado con bisección, con tolerancia típica de 10⁻⁶. Un rayo puede atravesar un toro en hasta cuatro puntos.
Estas intersecciones alimentan las distintas etapas de un renderizador. Los rayos primarios localizan la superficie visible; los de sombra comprueban si una fuente de luz está obstruida; los de reflexión y refracción simulan materiales espejo y transparentes; los difusos muestrean iluminación indirecta. Todas estas variantes comparten la misma estructura matemática.
El contenido, organizado en tres bloques —esfera, cilindro y toro—, permite experimentar con cada geometría y visualizar puntos de intersección sobre superficies tridimensionales. Resulta útil para estudiantes y profesionales de gráficos por computador que busquen dominar el fundamento de los motores de renderizado modernos, aunque la presentación matemática exige familiaridad con álgebra lineal y cálculo vectorial.