Los números complejos resuelven sistemas de ecuaciones que no tienen solución en los números reales, como el caso donde la raíz cuadrada de un número negativo aparece inevitablemente en la fórmula cuadrática. Aunque Gerolamo Cardano identificó esta paradoja en 1545 y René Descartes la despreció como un artefacto matemático, los matemáticos del siglo XVIII reconocieron su utilidad práctica en el cálculo y la física. Leonhard Euler introdujo la notación estándar con la letra 'i' para la raíz de -1, pero la falta de una representación geométrica clara persistió. La solución llegó con Jean-Robert Argand y Caspar Wessel, quienes demostraron que la multiplicación por 'i' corresponde a una rotación de 90 grados en un plano bidimensional. Este modelo, conocido como el plano de Argand, mapea los números complejos como puntos en un plano donde el eje horizontal representa la parte real y el vertical la imaginaria. A principios del siglo XIX, William Hallowes Hamilton formalizó algebraicamente estos conceptos al definir los números complejos como pares ordenados de números reales, eliminando la dependencia de la geometría y estableciendo las reglas precisas para su adición y multiplicación. Esta transición de la intuición geométrica a la definición algebraica rigurosa sentó las bases de la modernidad matemática.
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