En una entrada reciente de blog, el matemático John D. Cook profundiza en una aproximación coseno a la función gaussiana exp(−z²) ≈ (1 + cos(sin(z) + z))/2 que había presentado en días anteriores. Las dos expresiones se aproximan bien a lo largo del eje real, pero divergen notablemente en el imaginario: cuando z = iy, el lado derecho crece mucho más rápido que el izquierdo, comportándose como la doble exponencial exp(exp(y)).
Esta observación lleva a Cook a examinar la serie de potencias de exp(exp(y)), una serie especialmente interesante porque el coeficiente de x^n es e·B_n/n!, donde B_n es el n-ésimo número de Bell. Los números de Bell cuentan el número de formas de particionar un conjunto de n elementos etiquetados, mientras que n! cuenta las permutaciones de esos mismos elementos. El coeficiente es, por tanto, la razón entre particiones y permutaciones multiplicada por e.
El artículo explica que las particiones crecen casi tan rápido como las permutaciones, lo que provoca que la serie de la doble exponencial converja muy lentamente. Para calcular la razón de forma exacta, el autor muestra un breve fragmento de código en SymPy que combina la función bell con factorial, devolviendo un racional exacto convertible a float.
En la sección de asintóticas, Cook deriva los términos dominantes de log B_n y log n!, llegando a log(B_n/n!) ~ ½ log n − n log log n. También ofrece una forma alternativa basada en la función W de Lambert, donde r = W(n) y la expresión se reduce a log(B_n/n!) ~ n/r − 1 − n log r.
El post aclara un matiz clave: los números de Bell cuentan particiones de conjuntos etiquetados, mientras que los números de partición ordinarios se refieren a conjuntos no etiquetados y son mucho menores. La entrada enlaza con publicaciones previas del autor sobre números de Bell, la función W de Lambert y otras aproximaciones a la gaussiana, hilando una exploración coherente en torno a la teoría de particiones, el crecimiento exponencial y las funciones especiales.