La composición atonal, un estilo musical que deliberadamente evita las estructuras tonales tradicionales, puede ser un desafío para los compositores, requiriendo una disciplina considerable para crear obras que a menudo se perciben como disonantes. Una técnica clave utilizada para lograr esto es la 'fila dodecafónica' (o 'serie de doce tonos').
En esencia, una fila dodecafónica es una permutación (ordenamiento) de las 12 notas de la escala cromática (las 12 notas que existen en un teclado de piano). El compositor crea esta secuencia y la utiliza estrictamente en orden. Aunque la duración de cada nota puede variar y las notas pueden moverse a diferentes octavas, el orden de las notas (sus 'clases de tono', es decir, la nota independientemente de su octava) se mantiene constante. Esto evita la creación de patrones tonales familiares.
Para añadir variedad, los compositores pueden emplear transformaciones de la fila original. Estas incluyen la inversión (invertir los intervalos: si una nota sube, baja, y viceversa), la retrogradación (reproducir la fila al revés) y la retrogradación-inversión (combinar ambas transformaciones). Estas transformaciones, junto con la fila original, forman un grupo matemático conocido como un grupo abeliano, con propiedades específicas que permiten una exploración sistemática de variaciones.
Matemáticamente, el número de posibles filas dodecafónicas es considerable: 12! (12 factorial), pero al considerar que una fila que comienza en un punto diferente es esencialmente la misma, el número se reduce a 11!. Este concepto se relaciona con la teoría de grupos, un campo de las matemáticas abstractas.
Aunque la aplicación de las matemáticas a la música puede generar resultados interesantes, el autor expresa una preferencia por el uso de matemáticas en el ritmo más que en la melodía, sugiriendo que la aplicación a la melodía a menudo resulta en música menos agradable. Un ejemplo de esto se puede encontrar en la Suite para Piano, Op. 25 de Arnold Schoenberg.
La técnica de la fila dodecafónica no siempre es fácil de reconocer para el oyente promedio. El autor relata una anécdota de una experiencia en la universidad donde, por pura suerte, identificó una improvisación de órgano como sonando como una fila dodecafónica de Schoenberg, una observación que sorprendió al propio organista. Esta historia ilustra la naturaleza a veces subjetiva y aleatoria de la percepción musical.