Este artículo de John Cook explora por qué Mathematica no simplifica la expresión Sinh[ArcCosh[x]] de la manera intuitiva que uno podría esperar. La sorpresa surge porque, a primera vista, parece que Sinh[ArcCosh[x]] debería simplificarse a √(x² − 1). Sin embargo, Mathematica devuelve una expresión más compleja, y el artículo profundiza en las razones detrás de esto, revelando una sutil pero importante comprensión de cómo Mathematica (y, por extensión, otras herramientas matemáticas) maneja las funciones inversas hiperbólicas y las raíces cuadradas en el plano complejo.
El problema radica en la definición precisa de la función ArcCosh[x]. A diferencia de una función simple, ArcCosh[x] no está definida de manera única para todos los números reales. La función coseno hiperbólico (cosh) es una función par, lo que significa que cosh(x) = cosh(-x). Por lo tanto, para definir ArcCosh[x] de manera unívoca, se impone una restricción: se define como el número positivo cuyo coseno hiperbólico es igual a x. Esto funciona bien para x ≥ 1, pero crea problemas cuando x < 1. Para extender la función a todo el plano complejo, se necesita una sección de corte (branch cut) para evitar discontinuidades.
Similarmente, la definición de la raíz cuadrada (√x) también requiere cuidado en el plano complejo. Al igual que con ArcCosh, se define primero para números reales positivos y luego se extiende al plano complejo mediante continuación analítica, requiriendo también una sección de corte. La simplificación errónea √(x + 1)² = (x + 1) es válida solo cuando x ≥ -1, pero no en general.
Mathematica, al calcular Sinh[ArcCosh[x]], está considerando la definición completa de ArcCosh en el plano complejo, incluyendo la sección de corte. La expresión que devuelve es correcta para todos los valores complejos de x, mientras que la simplificación √(x² − 1) asume implícitamente que x está en un dominio donde ArcCosh[x] es real. Si se le indica a Mathematica que x ≥ -1 (a través de la opción Assumptions -> {x >= -1}), entonces sí simplificará la expresión a √(x² − 1).
En resumen, el artículo destaca la importancia de ser consciente de las definiciones precisas de las funciones matemáticas, especialmente cuando se trabaja con funciones inversas y raíces cuadradas en el plano complejo, y cómo estas definiciones pueden afectar el comportamiento de los sistemas de cálculo como Mathematica.