La hipótesis de Riemann: el problema del millón de dólares explicado desde los primos

Euclides demostró hacia el 300 a.C. que existen infinitos números primos, pero la pregunta más sutil es cuantificar qué tan frecuentes son. Una forma de medirlo es sumar los recíprocos de los primos (1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …): si esa serie converge, los primos son escasos; si diverge, son relativamente abundantes. Leonhard Euler abordó el problema introduciendo la función zeta de Riemann, ζ(s) = Σ 1/n^s, y demostró que puede factorizarse en un producto infinito sobre todos los primos (el llamado producto de Euler), un resultado que codifica la factorización única en el lenguaje del cálculo y sirve de puente entre teoría de números y análisis. Tomando logaritmos y desarrollando en serie de Taylor, Euler convirtió el producto en una suma de sumas sobre primos: log ζ(s) = Σ 1/p^s + Σ 1/(2p^{2s}) + …. Evaluando en s = 1, y recordando que la serie armónica diverge (1 + 1/2 + 1/3 + … = ∞), dedujo que la suma de los recíprocos de los primos también diverge, lo que implica que los primos son más comunes que, por ejemplo, las potencias de 2. La hipótesis de Riemann, formulada en 1859, predice dónde se anula la función zeta extendida al plano complejo y permite describir con precisión la distribución de los primos; resolverla vale un millón de dólares del Premio Clay del Milenio y tendría consecuencias profundas en teoría de números y criptografía.