Un trabajo de geometría algebraica y compleja construye una estructura compleja sobre la 6-esfera S6 a partir de la familia modular (3, 4, ∞) de toros 2-dimensionales, completada en sus tres puntos singulares. Partiendo del grupo triangular ∆(3,4,∞) y de una representación de rango cuatro en SL(V) con V ≅ Z4, los autores definen funciones periodo equivariantes τ, µ, β que parametrizan la familia sobre la curva orbifold P1 con puntos de órdenes 3 y 4 y un cusp. La fibra general es un toro complejo 2-dimensional no algebraico con dimensión algebraica a(X)=1.
Los tres puntos singulares (dos elípticos y el cusp) reciben rellenos estándar: en los elípticos se aplica la transformación logarítmica de Kodaira, con fibras bielípticas; en el cusp se usa la degeneración tórica de Mumford, cuya fibra central W resulta ser una superficie tórica con polígono hexagonal isomorfa al plano del Pezzo de grado 6 (dP6), pegada a sí misma con dos puntos triples.
El pegado de los rellenos a la familia global mediante traducciones por secciones locales está controlado por tres enteros (ℓ0, ℓ1, ℓ2). Para (ℓ0, ℓ1, ℓ2)=(0,1,−1), el grupo fundamental se anula, la homología entera es la de S6 y X es difeomorfo a S6. El número de Euler e(X)=2 se concentra exclusivamente en la fibra singular tórica. Finalmente, el artículo explica por qué el argumento de CDP20 no es aplicable aquí: la trivialidad topológica de Pic(X) y la presencia de una fibra no normal invalidan los pasos de propagación requeridos.