El teorema de Sylvester–Gallai es uno de los enunciados clásicos de la geometría discreta euclídea: todo conjunto finito de puntos del plano que no esté alineado posee una recta ordinaria, es decir, una recta que pasa exactamente por dos de los puntos y deja al resto fuera. Aunque parece intuitivo, no fue demostrado hasta 1944, y una de las pruebas más elegantes se debe al matemático de la Universidad Estatal de Míchigan Leroy Milton Kelly.
La estrategia de Kelly, expuesta por la web divulgativa Futility Closet, es una demostración por contradicción de apenas cuatro pasos. Primero, se parte de un conjunto S de puntos no colineales y se define como "recta de conexión" cualquier recta que contenga al menos dos de ellos. Como hay al menos un punto fuera de cada recta que pasa por dos puntos del conjunto, existe un punto P y una recta ℓ que están más próximos entre sí que cualquier otro par punto-recta de S. A continuación se demuestra que ℓ solo contiene dos puntos del conjunto.
Para ello se supone lo contrario: que ℓ contiene al menos tres puntos de S. Entonces, al proyectar P perpendicularmente sobre ℓ hasta un punto P′, al menos dos de esos tres puntos han de caer al mismo lado de P′. Se les llama B y C, con B más cercano a P′. Al trazar la recta de conexión 𝓂 que pasa por P y C, y la perpendicular desde B hasta B′ sobre 𝓂, los triángulos PP′C y BB′C resultan ser semejantes, por lo que BB′ es más corta que PP′. Esto contradice la elección inicial de P y ℓ como el par más próximo.
La conclusión cierra el razonamiento: la suposición de que ℓ contiene más de dos puntos es falsa, así que toda recta que contenga al menos dos puntos de un conjunto no colineal posee forzosamente una recta ordinaria. La elegancia de la prueba reside en reducir un problema combinatorio a una comparación de distancias en el plano, evitando cálculos algebraicos pesados.