Tesis doctoral del MIT sobre estimación física aplicada a la visión y a los números primos
Sanjoy Mahajan, físico formado en el California Institute of Technology (Caltech), presentó en 1998 su tesis doctoral "Order of Magnitude Physics: A Textbook with Applications to the Retinal Rod and to the Density of Prime Numbers", un trabajo que combina la enseñanza de la física con dos investigaciones originales en campos aparentemente dispares: la biofísica de la retina y la teoría de números.
La obra, disponible en el repositorio del laboratorio de investigación del físico David MacKay (www.inference.org.uk), nació como una extensión del curso "Order of Magnitude Physics" impartido en Caltech por los profesores Peter Goldreich y Sterl Phinney. Mahajan desarrolló materiales propios para la asignatura, que finalmente dieron lugar a un manual estructurado en cinco capítulos temáticos: estimaciones simples, análisis dimensional, propiedades mecánicas de los materiales, propiedades térmicas y ondas en el agua.
Según Mahajan, el propósito de la física de orden de magnitud es construir "herramientas mentales" que permitan ampliar la intuición y el razonamiento. Una respuesta aproximada, argumenta, "no sólo es casi tan útil como la respuesta exacta, es más útil": permite identificar los principios físicos relevantes detrás de un problema, mientras que un desarrollo matemático exhaustivo suele ocultar esos principios tras manipulaciones formales. La tesis incorpora numerosos "warmup problems" (problemas de calentamiento) y análisis de escalamiento diseñados para entrenar al lector en este tipo de razonamiento.
El capítulo más extenso del manual está dedicado a las ondas en el agua, donde Mahajan distingue entre ondas profundas, ondas superficiales, ondas en aguas someras y ondas capilares, analizando cómo se combinan en distintos regímenes. En palabras del propio autor: "las matemáticas complejas determinan una constante adimensional que multiplica la forma funcional, mientras que los principios determinan las leyes de escalamiento".
En la segunda parte de la tesis, Mahajan aplica estos métodos a dos problemas concretos. El primero es biofísico: un modelo analítico de la sensibilidad al flash de los bastones retinales, las células fotorreceptoras responsables de la visión en condiciones de baja luminosidad. Mahajan amplía el modelo clásico de respuesta al flash propuesto por Lamb y Pugh con una aproximación al estado estacionario en función de la intensidad de fondo. El modelo combinado predice que la sensibilidad al flash es proporcional a I_b^(-1,3), un resultado que coincide de forma aproximada con datos experimentales que muestran un comportamiento tipo Weber-Fechner (I_b^(-1)) en un rango de intensidades de dos órdenes de magnitud. La sencillez del modelo, según Mahajan, "muestra claramente cómo cada vía bioquímica determina la respuesta del bastón".
La segunda aplicación es matemática: un modelo aproximado de primalidad bautizado como "square-root model" (modelo de raíz cuadrada), cuyo objetivo es explicar las características de la densidad de los números primos. En este modelo, relacionado con el método de la criba aleatoria de Hawkins, la divisibilidad y la primalidad se tratan como fenómenos probabilísticos. A partir de una recurrencia, Mahajan obtiene como solución asintótica 1/(log n), en concordancia con el teorema de los números primos. El siguiente término de la solución oscila alrededor de 1/(log n) con un período que crece superexponecialmente. Estas oscilaciones son un modelo para los cambios de densidad que el matemático Littlewood demostró en 1914: demostró que la cantidad de números primos menores o iguales a n cruza su aproximación natural —la integral logarítmica de Li(n)— infinitas veces.
Aunque no se conoce ningún cruce explícito, el mejor resultado teórico, debido a te Riele, sitúa el primer cruce por debajo de 7 × 10^370. El modelo de Mahajan, sin embargo, ofrece la conjetura de que el primer cruce ocurre cerca de 10^27, una cota mucho más práctica y susceptible de verificación computacional. La tesis cierra con una exploración especulativa sobre la hipótesis de Riemann.
Mahajan rinde homenaje en los agradecimientos a figuras como John Hopfield —quien le sugirió que un libro de texto podía formar parte de una tesis—, Carver Mead, David Middlebrook y Donald Knuth (creador de TeX), así como a las fundaciones Hertz y Whitaker, que financiaron sus años de doctorado. Cuatro décadas después de su defensa, este trabajo sigue siendo citado como referencia metodológica para la enseñanza de la física basada en la estimación y como una fuente poco habitual de ideas en la interfaz entre física y teoría de números.