Las relaciones de recurrencia de tres términos son una herramienta habitual para calcular funciones especiales, pero su uso exige precaución por problemas de estabilidad numérica. Este artículo explica por qué la recurrencia de las funciones de Bessel se comporta de forma opuesta según el sentido en que se aplique: en sentido directo (de orden menor a mayor) resulta estable para las funciones de Bessel de segunda especie Yn, pero inestable para las de primera especie Jn; en sentido inverso ocurre lo contrario.
La causa está en la estructura matemática de la ecuación en diferencias de segundo orden, que posee dos soluciones independientes: una que crece con n y otra que decrece. Cuando se pretende calcular la solución que decrece, el redondeo en coma flotante introduce una pequeña contaminación de la solución creciente, amplificando el error y arruinando el resultado. En las funciones de Bessel, Jn(x) decae hacia cero al aumentar n, mientras que Yn(x) diverge hacia −∞; precisamente esa diferencia justifica la estabilidad o inestabilidad de cada recurrencia. El mismo fenómeno aparecerá en cualquier otra recurrencia cuyas soluciones independientes diverjan o se anulen al variar n.
Existen técnicas específicas para obtener la llamada solución mínima sin que diverja, entre ellas el algoritmo de Miller, basado en arrancar la recurrencia en un valor alto de n y avanzar hacia atrás con una condición inicial elegida para cancelar la componente parásita. En definitiva, aplicar estas recurrencias sin entender cuál de las dos soluciones se está propagando puede producir resultados completamente incorrectos.