El artículo explora la traducción del lema de Yoneda, un pilar fundamental de la teoría de categorías, al lenguaje de las categorías dobles. El autor argumenta que, aunque las construcciones estándar como los límites ponderados o las extensiones de Kan se generalizan fácilmente usando profuntores, la descripción precisa de los presheaves requiere un enfoque más sutil. Para ello, se define el lema de Yoneda en este contexto mediante la construcción de un objeto de presheaves y una flecha vertical de Yoneda, evitando la mención explícita de conjuntos de homomorfismos.
El texto detalla cómo el lema de Yoneda se expresa utilizando 2-células y diagramas de cuerdas, donde las flechas horizontales representan profuntores. Se introduce la noción de 'clasificador de flechas' para categorizar las flechas horizontales mediante flechas verticales, estableciendo una equivalencia entre profuntores y funtores en la categoría de presheaves. Además, se analiza la densidad del lema de Yoneda a través de las extensiones de Kan a la izquierda y la adjunción entre el compañero y el conjoint en un equipo de proarrow. El artículo concluye que imponer la condición de que el unit de la adjunción sea un isomorfismo, junto con la densidad, selecciona los equipos que poseen la estructura de Yoneda, permitiendo una descripción completa de los presheaves y sus embeddings sin recurrir a la notación tradicional de conjuntos.