El billar matemático es una rama de la geometría y la dinámica que estudia las trayectorias de bolas en superficies ideales, libres de fricción. A diferencia del billar físico, donde la fricción y la elasticidad complican las predicciones, este campo abstracto permite analizar sistemas dinámicos mediante experimentos computacionales. El artículo describe dos variantes principales: el billar interno y el externo.
En el billar interno, la bola rebota dentro de una forma convexa cerrada, como un elipsoide. Los matemáticos investigan si existen trayectorias periódicas, es decir, si la bola vuelve a su posición inicial tras un número finito de rebotes. Aunque se conoce mucho sobre este tema, preguntas fundamentales siguen sin respuesta, como la existencia de trayectorias periódicas en todos los triángulos.
El billar externo describe el movimiento de un punto fuera de una figura geométrica, reflejándolo a través de sus tangentes. Este sistema es particularmente interesante por su comportamiento caótico. En el caso de un elipsoide, las órbitas son predecibles y se cierran en elipsas concéntricas. Sin embargo, para otras formas, las órbitas pueden divergir hacia el infinito. Un aspecto crítico es la existencia de singularidades en polígonos regulares, donde la definición de la reflexión falla. El análisis computacional revela que, en polígonos como el pentágono, aparecen comportamientos fractales y regiones llamadas 'islas periódicas', donde las órbitas son estables. Estos hallazgos demuestran la riqueza de la dinámica geométrica y la utilidad de la simulación numérica para explorar sistemas complejos.