El 28 de junio se celebra el día de tau (τ = 2π), una efeméride matemática que recuerda las ventajas de usar esta constante en fórmulas con círculos. Aunque la notación con τ no se ha impuesto, el artículo se detiene en una curiosidad numérica bien conocida: π² ≈ 10.
El valor exacto de π² es 9,8696, lo que dista apenas 0,1304 de 10. Para demostrarlo de forma elemental, el texto parte del problema de Basilea resuelto por Euler en el siglo XVIII, que establece que la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales es π²/6. Mediante una manipulación con fracciones parciales y una serie telescópica, se obtiene la cota ζ(2) ≤ 5/3, de donde se deduce π² ≤ 10.
El artículo cuantifica además la diferencia entre π² y 10: el error 6δ se calcula sumando los primeros términos de la serie residual, cuyo orden de convergencia es O(n⁻⁴). Los tres primeros sumandos valen 1/60, 1/315 y 1/1008, y al multiplicarlos por 6 arrojan un error acumulado de 0,125. Por tanto, π² se desvía de 10 en aproximadamente una octava parte.
Esta aproximación tiene utilidades prácticas en cálculos rápidos donde se necesita decidir si un valor está por encima o por debajo de un umbral. El autor menciona el caso de estimar el perímetro de un círculo de radio 1/10 o el logaritmo decimal de π sin recurrir a la calculeta, algo especialmente útil en cálculos mentales o razonamientos aproximados.