En un artículo publicado en su blog, el ingeniero y divulgador Dr. Drang describe un método alternativo para demostrar la fórmula de la suma de los primeros n cubos. La fórmula, que reduce Σk³ a [n(n+1)/2]², suele presentarse en docencia a partir de identidades algebraicas, pero el autor busca un camino más mecánico y reproducible.
El procedimiento se apoya en las tablas de diferencias finitas, una técnica habitual en análisis numérico. Al calcular los valores de la suma de cubos para n=1, 2, 3… y restar términos consecutivos, se obtienen las columnas Δ, Δ², Δ³ y Δ⁴. La cuarta diferencia resulta constante e igual a 6, lo que indica que la suma de cubos es un polinomio de cuarto grado en n. Ese valor de la cuarta diferencia fija de forma inmediata el coeficiente del término de mayor grado (n⁴/4).
A partir de ahí, el autor propone tres formas de obtener los coeficientes restantes. La primera consiste en resolver un sistema de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas utilizando NumPy en Python; la segunda, recurrir a la función LinearSolve en Mathematica, que devuelve fracciones exactas; y la tercera, calcular la matriz inversa de los coeficientes en una hoja de cálculo (Numbers, Excel o Google Sheets) mediante MINVERSE y MMULT. Una cuarta alternativa, más artesanal, consiste en ir restando término a término los polinomios ya conocidos —primero n⁴/4, luego el término cúbico, después el cuadrático— generando tablas de diferencias sucesivas hasta que todos los valores se anulan, lo que verifica que los coeficientes restantes son cero.
El artículo compara estos procedimientos con el método gráfico explicado por Ben Sparks en un vídeo reciente de Numberphile, y concluye que las tablas de diferencias, aunque menos elegantes, tienen la ventaja de no requerir ninguna intuición especial: basta con organizar los datos y dejar que el cálculo conduzca al resultado.